Quand on parle de calcul mental, on pense volontiers aux quatre opérations, ou éventuellement à quelques calculs de racines carrées. Un peu de travail théorique complémentaire permet pourtant d’aller bien plus loin, et de pouvoir aborder de tête des problèmes que l’on penserait volontiers insolubles sans calculatrice.

En octobre 2024, dans le cadre du projet GIMPS, Luke Durant a battu le record du plus grand nombre premier connu.

C’est un nombre de Mersenne, qui est égal à 2136 279 841 – 1.

Cet entier, qu’on notera M, est incroyablement grand par rapport aux nombres que nous manipulons au quotidien. On ne va évidemment pas se demander ici comment vérifier qu’il s’agit bel et bien d’un nombre premier mais, plus simplement, trouver avec combien de chiffres s’écrit un monstre pareil.

Rappelons que le nombre de chiffres d’un nombre N est la plus petite valeur n pour laquelle on a N < 10 n. Pour trouver la réponse à ce genre de question, un excellent outil est celui des logarithmes. 

Les logarithmes, c’est une machine à remplacer une multiplication par une addition. En considérant ici les logarithmes néperiens (ou naturels), notés ln, le fonctionnement de cette machine tient à la relation suivante : ln(ab) = ln(a) + ln(b).

En appliquant cette relation au cas où a = b, on en tire que ln(a 2 ) = 2 ln(a) et, plus généralement, que ln(a n ) = n ln(a). En laissant sans regret de côté le « – 1 » dans l’expression de M, trouver n tel que M < 10 n est donc la même chose que de trouver n ... Lire la suite

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