Leonhard Euler a tiré de l’oubli diverses propositions arithmétiques de Pierre de Fermat. C’est notamment le cas de l’impossibilité que la somme de deux cubes soit un cube. Il s’agit du cas particulier avec l’exposant le plus petit du « grand théorème » de Fermat, célèbre résultat resté à l’état de conjecture durant trois siècles.
Portrait de Leonhard Euler (1707-1783) par Joseph Friedrich August Darbes en 1778.
L’audace d’Euler
Le raisonnement d’Euler suit la méthode de « descente infinie » mise au point par Fermat : supposons qu’il existe trois entiers non nuls x, y, z, tels que x 3 + y 3 = z 3.
En utilisant des manipulations algébriques et des propriétés de divisibilité, Euler veut montrer que si (x, y, z) est une solution, il est possible de trouver une autre solution (x ', y ', z ' ) plus petite (voir encadré). On peut reproduire cette descente autant de fois qu’on le souhaite, ce qui veut dire qu’il existe une infinité de solutions strictement plus petites que la solution de départ. Or, une suite d’entiers naturels strictement décroissante est nécessairement finie. D’où la contradiction et le fait qu’il n’existe aucune solution à ce problème (pour la démonstration, voir ... Lire la suite