Indispensables contre-exemples

De même qu'un petit dessin vaut mieux qu'un long discours, rien ne vaut, dans le domaine des mathématiques, un contre-exemple pour démentir une fausse intuition ou une conjecture erronée.
Si elle est fascinante (ou parfois amusante) pour les passionnés, la recherche des contre-exemples n'est pas une simple distraction. Elle est fondamentale, tant dans le processus de raisonnement que comme outil pédagogique. Elle a émaillé le développement des mathématiques, permettant par exemple à la théorie des fonctions de prendre corps. Plus récemment, des programmes utilisant l'intelligence artificielle ont mis en évidence des contre-exemples sophistiqués, réfutant de nombreuses conjectures, en particulier en théorie des graphes.

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Selon une croyance toujours vivace, le contre-exemple est avant tout un amusement. Son rôle est pourtant fondamental dans différents domaines, tant comme démonstration mathématique que comme outil pédagogique... sans oublier son côté divertissant, ou même artistique, suivant le regard qu'on lui porte.


De Cauchy à Weierstrass, la rigueur s'est imposée en analyse tout au long du XIXe siècle. Des croyances erronées ont été balayées par différents contre-exemples et ont contraint à mieux définir les différentes notions. Certaines fonctions « monstrueuses » ont été introduites, fascinantes pour certains et répugnantes ...


Le recours à l'outil informatique pour résoudre des problèmes mathématiques n'est pas nouveau. Adam Zsolt Wagner, de l'université de Tel Aviv (Israël), vient de montrer comment le recours à l'intelligence artificielle permet de trouver des contre-exemples à plusieurs conjectures jusque-là ouvertes. Une promesse pleine d'avenir ?


En bref : Le théorème de Schwarz

Bertrand Hauchecorne

D'Euler à Cauchy, en passant par Clairaut, on ne doutait pas qu'intervertir l'ordre des dérivations partielles ne changeait pas le résultat. Hermann Schwarz bouscula cette croyance par un superbe contre-exemple.



En bref : Hypercube : une conjecture est tombée !

Fabien Aoustin

Le défi : recouvrir des ensembles de points avec un minimum d'hyperplans, et en particulier des ensembles constitués de certains sommets de l'hypercube.



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