Ils sont le moteur des mathématiques. Ceux qui éveillent la curiosité, titillent les chercheurs et provoquent les avancées. Qui sont-ils ? Les problèmes ouverts, les conjectures, les hypothèses !
Les nombreuses conjectures qui parsèment leur histoire, comme celle de Goldbach en théorie des nombres, celle de Toeplitz en géométrie ou celle de Poincaré en topologie, en sont des exemples. Les conjectures, une fois résolues, en appellent d'autres créant une chaîne interminable de progression du savoir.
Une conjecture, c'est un résultat qu'on subodore, dont on n'a pas trouvé de contre-exemple, mais qui n'est pas prouvé. Dans un problème ouvert, en revanche, le résultat cherché n'est pas connu. Toutes les branches des mathématiques en regorgent : topologie, combinatoire, analyse, probabilités, statistiques... Même en géométrie, des objets aussi simples que les patrons de polyèdres échappent encore à notre compréhension !