Quand les fractions continuent

Elles continuent, les fractions ! Fondamentalement cantonnées à l’ensemble des nombres rationnels, elles parviennent pourtant à s’en échapper lorsqu’on les laisse poursuivre à l’infini. En la matière, il existe de multiples façons de faire. L’une d’elles consiste à en ajouter encore et encore, pour s’approcher le plus en plus de nombres irrationnels comme π. Une seconde possibilité consiste à disposer les fractions dans un arbre binaire pour les obtenir toutes. Enfin, procédé majeur, des techniques algébriques ou arithmétiques permettent de constituer des fractions de fractions, qui se poursuivent à l’infini et définissent ainsi les fractions… continues.

LES ARTICLES

Sommes sans fin

Bertrand Hauchecorne

Additionner plusieurs fractions donne toujours une fraction. Mais si la somme se poursuit à l’infini, les choses sont bien différentes. Bien choisies, de telles sommes permettent d’approcher des nombres comme π, et apportent quantité de résultats passionnants et inattendus.

Fractions de fractions sans frein

Michel Criton

Une façon toute simple de construire une suite de fractions peut déboucher sur des outils étonnamment profonds. En voici une illustration conduisant à la fameuse suite de Prouhet-Thue-Morse aux multiples applications.

Des dénominateurs à l’infini

Norbert Verdier

Empilement de fractions qui ne s’arrêtent jamais, les fractions continues ont été étudiées par les plus grands mathématiciens, notamment Euler et Lagrange, mais aussi Galois. Plongée au cœur de ces fractions aux étranges dénominateurs.

Généalogie des fractions

Fabien Aoustin

Une très belle construction due à Calkin et Wilf, déjà pressentie un siècle plus tôt, permet de lister toutes les fractions d'une manière à la fois élégante et profonde. Dans cette construction, chaque fraction donne naissance à deux nouvelles, en partant de la fraction 1 / 1.

En bref : Des fractions dans le temple des entiers ?

Éric Angelini

Comme son nom l’indique, l’Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers de Neil Sloane ne contient que des entiers. Il y a pourtant moyen d’y introduire des fractions par une voie détournée…