Il est difficile d’imaginer l’algèbre sans la théorie des groupes. Pourtant, ce n’est qu’à partir du début du XIX^e siècle que la notion se développe, présente implicitement dans les travaux de Lagrange, puis introduite par Galois. D’abord limitée aux seuls groupes des permutations d’un ensemble, la notion s’est peu à peu imposée dans tous les domaines des mathématiques pour étudier non plus seulement les objets, mais aussi les relations entre eux.
La définition formelle d’un groupe n’apparaît qu’à la fin du XIX^e siècle. Se développent alors quantité d’outils pour utiliser, répertorier, construire les nombreux exemples de cette structure unificatrice qui déferle sur les mathématiques… et toutes les sciences. Graal ultime, le théorème de classification des groupes finis simples connaît encore des répercussions aujourd’hui.